Світличний О.О., Чорний С.Г.
Основи ерозієзнавства

Математичне моделювання ерозійних процесів

Математичне моделювання грунтується на використовуванні в якості замінника реальної системи або процесу математичної моделі – системи математичних співвідношень, що описують об'єкт, процес або явище, яке вивчається.

Математичними моделями можуть бути, наприклад, системи інтегральних, диференціальних або різницевих рівнянь, системи алгебраїчних рівнянь або нерівностей, системи диференціальних рівнянь, доповнені алгебраїчними рівняннями та (або) нерівностями, матриця, просторовий граф тощо. В окремому випадку математична модель може бути представлена і одним рівнянням – формулою. У разі використання в моделі рівнянь і нерівностей різного типу в природничих науках, у тому числі й в ерозієзнавстві, такі математичні моделі часто називають логіко-математичними.

Математична модель у формалізованому вигляді (на мові математики) показує істотні з погляду поставленої мети взаємозв'язки між складовими частинами або між чинниками і явищами в досліджуваній системі. Унаслідок цього вона завжди відображає рівень наших знань у даній предметній галузі. Чим вище рівень знань, тим більш детальною може бути побудована модель даного об'єкта, процесу або явища. Ступінь детальності моделі і її характер визначаються також і метою моделювання. Іноді досягнення поставленої мети може бути виконане і з використанням достатньо простої моделі.

Математичні моделі класифікуються за різними критеріями. За характером вирішуваних проблем моделі поділяються на функціональні та структурні. У першому випадку всі величини, що характеризують об'єкт, процес або явище, мають кількісний вираз. При цьому одні з них розглядаються як незалежні змінні, а інші – як функції від цих величин. Основу математичних моделей у цьому випадку звичайно складають системи рівнянь різного типу (диференціальних, алгебраїчних і т.п.), що встановлюють кількісні залежності між даними величинами. У другому випадку модель характеризує структуру складного об'єкта, що складається з окремих частин, між якими існують певні зв'язки. Як правило, ці зв'язки не піддаються кількісному вимірюванню. Для побудови таких моделей зручно використовувати теорію графів. Граф – це математичний об'єкт, що є деякою сукупністю точок (вершин) на площині або в просторі, деякі з яких сполучені лініями (ребрами).

В ерозієзнавстві набули поширення переважно функціональні моделі, серед яких найбільшу групу складають так звані моделі змиву або втрат грунту.

За характером відображення взаємозв'язків у системі, що моделюється, математичні моделі поділяють на статичні і динамічні. Статичні моделі дають можливість охарактеризувати структуру і зв'язки в системі або в певний момент часу, або в середньому за певний проміжок часу (в ерозієзнавстві найчастіше всього – за багаторічний період). Динамічні моделі описують поведінку системи у часі – наприклад, впродовж зливи або весняного сніготанення.

За характером вихідних даних і результатами прогнозу розрізняють детерміністичні і ймовірнісно-статистичні моделі. Перші дають певні, однозначні прогнози, другі – засновані на статистичній інформації, а прогнози, одержані з їх допомогою, мають характер вірогідності. Практично всі відомі в наш час в ерозієзнавстві математичні моделі належать до класу детерміністичних.

За характером просторової схематизації об'єкта дослідження моделі поділяють на нульвимірні (0D), одновимірні (1D), двовимірні (2D) і тривимірні (3D). Нульвимірні, або моделі із зосередженими параметрами, не враховують просторово-розподіленого характеру об'єкта – усі його характеристики приймаються просторово усередненими (наприклад, за площею схилу або водозбору). Одновимірні (профільні) моделі враховують зміну характеристик моделі тільки за однією з координат простору (в ерозійних моделях – за довжиною схилу). Двовимірні моделі враховують зміну характеристик моделі на площині – за координатами X і Y (такі моделі звичайно називають просторово-розподіленими). Нарешті, тривимірними є моделі, що враховують зміну характеристик модельованого процесу за всіма трьома координатами простору X, Y і Z. До таких моделей належать так звані гідромеханічні моделі стікання, засновані на повній системі рівнянь Нав'є – Стокса, у яких враховується зміна характеристик потоку не тільки в просторі, але й за глибиною.

У конкретних предметних галузях застосовуються й інші (прикладні) класифікації моделей, де виходячи із завдань, що вирішуються, виконується виділення більш детальних, ніж у представленій вище класифікаціях, спеціальних класів моделей. Класифікація моделей ерозійних втрат грунту відповідно до завдання оптимізації використання ерозійно-небезпечних земель подана в розділі 5.

Побудова математичних моделей не регламентується необхідністю виконання деяких формальних критеріїв (як критеріїв подібності при фізичному моделюванні), унаслідок чого особливу актуальність у математичному моделюванні має проблема адекватності моделі – проблема відповідності моделі оригіналу.

Можна виділити два критерії адекватності математичних моделей, які ведуть походження від критеріїв правильності наукової теорії за А. Ейнштейном (Горстко, Угольницкий, 1990):

  • критерій «внутрішньої досконалості» (вимога «природності», «логічної простоти» основних конструкцій моделі і співвідношень між ними);
  • критерій «зовнішньої виправданості» відповідність теорії спостережуваним фактам. У разі математичної моделі це означає, що модель правильно описує вже відомий фрагмент поведінки системи в минулому.

Кожна модель перед вживанням повинна бути оцінена за обома критеріями. При цьому якщо критерій внутрішньої досконалості передбачає переважно якісну оцінку відповідності моделі оригіналу, то критерій зовнішньої відповідності вимагає перевірки відповідності результатів моделювання даним спостережень за модельованим процесом або явищем. Стосовно моделей змиву грунту це означає перевірку моделі на достатньо тривалих і достовірних матеріалах спостережень за змивом грунту на стаціонарних майданчиках або схилових мікроводозборах.

Математичне моделювання разом із гносеологічними (пізнавальними) функціями часто виконує функції конструювання і проектування, виступаючи як інструмент розрахунку і прогнозу характеристик процесу або явища при вирішенні теоретичних і практичних завдань. Необхідною умовою вживання моделі в цьому випадку разом з адекватністю є можливість їх практичної реалізації, під якою сьогодні, у першу чергу, мається на увазі їх програмна реалізація на ЕОМ. Важливу роль відіграє також інформаційна забезпеченість моделі. Стосовно ерозійного моделювання остання полягає в можливості однозначного завдання значень всіх параметрів моделі для будь-якої частини території, що розглядається. Чим детальніше модель, тим більший обсяг інформації необхідний для її побудови та використання.

У наш час математичне моделювання вступає в новий важливий етап свого розвитку, вбудовуючись у структури інформаційного суспільства. Інформація як така часто є лише сировиною, яку необхідно переробити в готовий продукт, тобто в точне знання. Інструментом переробки є математичне моделювання, а тріада «модель – алгоритм – програма» – інтелектуальним ядром інформаційних технологій.

Розробка перших ерозійних математичних моделей – моделей змиву (або втрат) грунту належить до другої половини 30-х – початку 40-х років XX сторіччя. Цими моделями були формули Я.В. Корнева (1937), Дж.Г. Ніїла (J.H.Neal) (1938), А.У. Цингга (A.W.Zingg) (1940), В.А. Казакова (1940). Вони відображали залежність витрат силових наносів (як у формулах Я.В. Корнєва і В.А. Казакова) або середніх втрат грунту з одиниці площі (як у формулах Дж.Г. Ніїла і А.У. Цингга) від основних чинників – ухилу, довжини схилу і інтенсивності атмосферних опадів (або витрат води). У наш час кількість математичних моделей ерозійних втрат грунту різного типу, розроблених у світі, вимірюється багатьма десятками і продовжує збільшуватися. Математичні моделі втрат грунту і методи їх розрахунку та прогнозу, засновані на цих моделях, розглядаються в розділі 5.

Скачати повну версію книжки (з малюнками, картами, схемами і таблицями) одним файлом