Світличний О.О., Плотницький С.В.
Основи геоінформатики

Локально-стохастичні методи просторової інтерполяції і геостатистичне моделювання. Принципи геостатистичного моделювання. Побудова і оптимізація варіограмної моделі

8.4. Локально-стохастичні методи просторової інтерполяції і геостатистичне моделювання

8.4.1. Принципи геостатистичного моделювання

У геостатистичному моделюванні передбачається, що властивості точок простору (або комірок растра, якщо йдеться про растрову модель просторових даних) — це просторова реалізація деякої випадкової величини. У більшості випадків приймається, що розподіл цієї випадкової величини підпорядковується нормальному закону розподілу. При цьому в основу просторового аналізу даних і побудови (моделювання) безперервних поверхонь на основі дискретних наборів емпіричних даних з використанням процедур локально-стохастичної інтерполяції, відомих під загальною назвою «кригінг» (або «крайгінг») (на честь південно-африканського гірничого інженера Д.Дж. Кріге (D.G.Krige), в геостатистиці покладено уявлення про регіоналізовану змінну.
Теорія регіоналізованої змінної (Burrough, McDonnel, 1998) передбачає, що просторові зміни деякої змінної z(x), де х — узагальнене позначення координат простору х,у, можуть бути виражені як сума трьох компонент (рис. 8.3): 1) структурної компоненти, яка має постійне значення або тренд (детермінована складова); 2) випадкової, але просторово корельованої компоненти, яка є місцевими відхиленнями змінної від тренда, що, власне, і називається регіоналізованою змінною; 3) просторово-некорельованого випадкового шуму або залишкової похибки. Тоді значення випадкової змінної z в точці х задається виразом:

Формула (доступно при скачуванні повної версії підручника)

Рис. 8.3. Регіоналізована змінна без тренда: а — з постійним математичним очікуванням; б — із лінійним трендом (доступно при скачуванні повної версії підручника)

У найпростішому випадку, коли тренд відсутній, т(х) дорівнює середньому значенню в межах обстеженої площі, а середня або очікувана різниця між двома місцеположеннями х і x+<h, розділеними відстанню h, буде дорівнювати нулю:

Формула (доступно при скачуванні повної версії підручника)

Висновки, одержані в припущенні, що тренд відсутній, справедливі і для випадку, коли тренд є, але він виключений з використанням функції, що його описує. У зв'язку з цим перший крок геостатистичного аналізу — знаходження функції для опису трендової поверхні (т(х) = f(x)). Після того як детермінований ефект врахований, залишкова варіація є гомогенною і різниця між місцеположеннями є тільки функцією відстані між ними.
У тому випадку, якщо сформульовані вище умови щодо структурованого компонента змінної виконуються, напівдисперсія може бути визначена за вибірковими даними за виразом:

Формула (доступно при скачуванні повної версії підручника)

Графік залежності y(h) від h, побудований з використанням вибіркових даних, в англомовній літературі відомий як експериментальна, або вибіркова, варіограма, або просто — варіограма. У вітчизняній науковій літературі цю залежність називається структурною функцією. Експериментальна варіограма — це перший крок на шляху кількісного опису регіоналізованих змінних. Варіограма дає корисну інформацію для інтерполяції, оптимізації мережі вимірювань (або пробовідбору), а також визначення моделі просторового розподілу.

8.4.2. Побудова і оптимізація варіограмної моделі

Звичайно варіограма в прямокутній системі координат з осями у(л) (ординат) і h(абсцис) має вигляд кривої, що перетинає вісь ординат на деякій відстані від осі абсцис (рис. 8.4). Позитивне значення y(h) при h= 0 (с0) — це оцінка просторово некорельованого шуму, в англомовній літературі позначається як nugget (що в перекладі означає «самородок»). Це — залишкова варіація, тобто дисперсія похибок вимірювань, а також тих просторових змін, які мають характерний розмір, набагато менший, ніж крок випробування.

Рис. 8.4. Схематизована експериментальна варіограма перехідного типу з позначенням основних параметрів (доступно при скачуванні повної версії підручника)

Із збільшенням кроку варіограма збільшується до максимальних значень при деякому значенні а, яке називають радіусом кореляції, радіусом залучення або просто радіусом (англомовний еквівалент — range). При подальшому збільшенні кроку варіограма не збільшується, тобто втрачається залежність різниці значень у двох місцеположеннях від відстані між ними. Цю величину «насичення» варіограми називають поріг (sill). Таким чином, а показує область відстаней, у межах яких існує залежність (кореляція) між значеннями змінної. За межами цієї області залежності між значеннями змінної практично немає.
Форма варіограми абсолютно безумовно свідчить про вигляд просторової варіації, що має місце в межах даної площі, і може допомогти вирішити, як діяти далі.
Відома достатньо велика кількість варіограмних моделей, які мають різну поширеність на практиці. Найбільш широко застосовуються сферична, експоненціальна і гауссівська моделі.
Коли залишкова дисперсія істотна, але не дуже велика (рис. 8.5), варіограма описується сферичною моделлю:

Формула (доступно при скачуванні повної версії підручника)

Якщо залишкова варіація і поріг виражені виразно, а розмах — приблизно, варіограма краще всього описується експоненціальною моделлю:

Формула (доступно при скачуванні повної версії підручника)

Незважаючи на безумовну схожість її графіка зі сферичною, модель має кілька істотних особливостей. По-перше, термін «радіус» у ній не зовсім коректний. Ця модель виходить на поріг асимптотично, залишаючи навіть для найдальших проб деякий малий взаємовплив. Разом з тим на відстані радіуса візуально відрізнити її значення від порогу буває складно. По-друге, що важливо, вона задає зовсім іншу поведінку інтерполяційних алгоритмів на малих відстанях, «ослабляючи» міцність зв'язку в нулі і знижуючи, таким чином, тут достовірність оцінки.

Рис. 8.5. Теоретичні варіограмні моделі при с0 = 0 і с,= 1,0:
а) сферична; б) експоненціальна; в) гауссівська; г) пентасферична; д) лінійна; доповнена порогом; є) Бесселя; ж) степенева (а = 1,5); з) степенева (а = 0,25); і) періодична
(доступно при скачуванні повної версії підручника)

Якщо зміни варіограми незначні, а залишкова варіація мала порівняно з просторово залежною випадковою варіацією г'(х), тоді варіограма найкращим чином може бути описана гауссівською моделлю:

Формула (доступно при скачуванні повної версії підручника)

Гауссівська модель задає дуже високу міцність взаємозв'язку в нулі (характерну для потенційних полів) і в той самий час має поріг і радіус, хоча на поріг вона, як і експоненціальна, виходить не на значенні радіуса, а асимптотично. Особливості поведінки на малих відстанях дозволяють її використовувати замість процедур нелінійної геостатистики для об'єктів із значущим локальним трендом.
Усі ці моделі відомі як перехідні варіограми (інша назва — варіограми з порогом), тому що структура просторової кореляції змінюється зі зростанням А; неперехідні варіограми не мають порогу в межах досліджуваної території і можуть моделюватися лінійною моделлю:

Формула (доступно при скачуванні повної версії підручника)

Лінійні варіограми характерні для змінних (або процесів), що змінюються при будь-яких масштабах їх розгляду. Прикладом є броунівський рух. У більшості випадків модель цілком задовільно описує топографічні поверхні.
Відомі також і інші варіограмні моделі, зокрема, логарифмічна, степенева, періодична, Бесселя. Їх стисла характеристика наведена в табл. 8.1.

Таблиця 8.1. Варіограмні моделі (при с0 = 0 і Cj = 1,0) (Pebesma, 2001) (доступно при скачуванні повної версії підручника)

Варіограмні моделі експоненціальна, гауссівська і Бесселя досягають насичення (порогу) асимптотично. Ефективна величина радіуса — це відстань, при якій варіограма досягає 95% її максимуму. Для експоненціальної моделі — це 3а, для гауссівської — 4а і для бесселівської — 4а. Логарифмічна і степенева варіограмні моделі необмежені (безперервно зростають зі зростанням h) і, таким чином, не підходять для коваріаційого моделювання або простого кригінгу.
Процес побудови оптимальної варіограмної моделі ґрунтується на методі найменших квадратів і достатньо трудомісткий. Сучасні геостатистичні пакети звичайно містять інтерактивну процедуру побудови варіограмних моделей, при якій всі трудомісткі процедури виконує комп'ютер. Користувач же, виходячи з розміщення точок на емпіричній варіограмі, вибирає найперспективніші теоретичні моделі, запускає процедури визначення їх параметрів, а потім на основі порівняльного аналізу вибирає з них найбільш відповідну (оптимальну) для даного випадку.
Оптимальна варіограмна модель використовується для моделювання безперервних поверхонь на основі даного дискретного набору точок, а також для оцінки точності моделювання в кожній точці простору (або комірці растра).

Скачати повну версію книжки (з малюнками, картами, схемами і таблицями) одним файлом